北京國子監牌樓
中國之一部測算專著
――測繪之最
唐朝長安城的國子監里，書聲朗朗。作為中央高等學府的國子監，在開元年間，就學的中國學生和留學生竟然多達8000人，盛極一時。
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國子監算學館里，太史令、算學博士李淳風（602―670，唐代岐州---今陜西岐縣人，天文學家、數學家）正在上課：“大海上有座海島，我們在岸上如何測量海島的高度呢？哪位監生知道？”。監生們面面相覷。
“這個問題，我們的前輩在500多年前就解決了。巧妙的是他只用了兩根測量木桿。”監生們一個個睜大了眼睛望著學識淵博的老師。
“請打開《海島算經》。”李淳風大聲講。
《海島算經》是《算經十書》之一。唐代掌管天文測算的太史令李淳風、國子監算學館算學博士梁述以及助教王真儒，注釋并匯編唐代之前算學經典《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《孫子算經》《夏侯陽算經》《張邱建算經》《五經算術》《五曹算經》《緝古算經》《綴術》等10本書，稱為《算經十書》。《算經十書》作為唐代國子監的算學教材，納入科舉考試的內容。唐以后歷代，都推崇《算經十書》，作為國學的教科書。
《海島算經》一頁
監生們打開書本，李淳風繼續講：“《海島算經》是三國時期的數學家劉徽所著，實際上是劉徽對《九章算術?勾股章》的注釋，原名《重差》，現在我們把它單列，取名《海島算經》。因為《海島算經》之一個算例是望測海島。請翻看之一個算例！”
劉徽及李淳風注釋《九章算術》一頁
博學多能的李淳風侃侃而談，從劉徽注釋《九章算術》談起。
魏元帝景元四年（263），魏國滅亡了蜀國。這一年，魏國的學者劉徽（生平不詳）完成了對數學名著《九章算術》的注釋。注釋中不但有他對原著的理解，還有他的許多創見。《九章算術》大約成書于東漢初期，內容分為九章：方田、商功、少廣、粟米、衰分、均輸、盈不足、方程和勾股。勾股章講述勾股定理與相似直角三角形解法與應用。《九章算術》為中國古代數學經典之首。
劉徽畫像
但是，《九章算術》同我國古代數學經典一樣，有一個突出的特點，即以問題集的形式編寫，寓一般數學原理于具體算例之中，行文簡括，缺乏必要的說明與解釋，缺乏系統的理論探討。《九章算術》所列出的246個算例，因闡述過于簡略，造成了在學習與應用中許多誤解與困惑。在研讀《九章算術》的過程中，劉徽發現了這個問題，立志注釋這部數學經典。
魏元帝時期，雖然軍閥混戰，但是中原地區相對安定，劉徽便躲進書齋，按照“析理以辭，解體用圖”的原則對《九章算術》進行研究。他在自序中所說：“事類相推，各有攸歸。故枝條雖分，而同本干者，知發其一端而已。”就是說，劉徽試圖探求的是具體算例包含的內在邏輯和共同的道理。特別需要指出，劉徽在對勾股章注釋過程中，系統地研究了勾股測量理論與 *** （中國古代概稱勾股術），另著《重差》一卷，附于《九章算術》之后。重差測量理論與 *** ，為實現直接測量向間接測量的轉變提供了依據。
劉徽創造重差測量體系，源于數學家趙爽的日高圖的啟發。趙爽是三國時期的吳國人，以注釋《周髀算經》而聞名。據考證，《周髀算經》記述了西漢及其以前的數學成果，其中以西周數學家商高關于勾股定理的論述以及“用矩之道”最為著名。說明先秦時期，直接測量的勾股術已經廣泛應用了。趙爽對勾股定理注釋：“勾股各自乘，并之為弦實（面積），開方除之即弦。”并根據勾股術演繹出著名的《日高圖》。《日高圖》實際上是測量太陽高度的圖解，即使用兩根表桿（AC、EG）前后觀測，目的是構建兩個相似直角三角形，并根據直角相似三角形是邊角關系和測量數據推算太陽的高度。這種 *** 被稱為重差法。重差是兩次立桿測量所構建的兩個相似直角三角的比例項。
日高圖示意
劉徽反復端詳著數學家趙爽的《日高圖》，心里琢磨著《日高圖》隱含著的道理。“用兩根表桿就能測量推算出太陽的高度，這太神奇了！趙君真是巧思絕世的才子！”劉徽佩服趙爽使用如此簡單的工具和如此簡便的測算 *** 就解決了可望而不可及的物體的測算問題。《日高圖》使劉徽豁然開朗，他欣然命筆：“凡望極高，測絕深，而兼知其遠者，必用重差。勾股必以重差為率，故曰重差也。”重差法是中國古代勾股術的主要內容。而勾股術本質上是中國古代基于直角三角形的三角測量。
劉徽按照趙爽的思路探索下去，發明了重表法、累矩法和連索法，逐步建立起重差測算體系，使得中國古代的勾股術臻于完善。重表法類同日高圖揭示的 *** 。劉徽《重差》的之一個 算例“望海島”采用的就是重表法。
“望海島”算例圖解
“望谷”算例采用了累矩法。累矩法是利用兩個上下疊累的偃矩（在矩ABC上疊加和B′A′C′）測量推算出物體的深度（AE），如水井、山谷的深度。“望邑”算例采用了連索法，即在觀測中不但使用重表（E、F與人眼同高），而且用測繩將兩根表桿連起來，借助繩索進行測量與推算。對這些 *** ，劉徽詳細繪制了圖解，稱為《重差圖》（已佚）。他說：“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望，觸類而長之，則幽遐詭伏靡所不入。”意思是說，測量高低用重表法，測量深淺用累矩法，測量孤立的目標用多次望測的 *** ，測量復雜的目標需要聯合使用這些 *** 。總之，要根據實際情況，活用原則。
累矩法示意圖
連鎖法示意圖
《算經十書》中，有的講日常生活的計算問題，屬于初等數學知識；有的講復雜的天文計算問題，屬于高等數學知識；《海島算經》講復雜的間接測量與計算問題，屬于中等或高等測算教材。李淳風親自授課，分多次教授《海島算經》，最后李淳風強調：“監生們，請你們記住，《海島算經》是專門講述測量與計算的著作，可以說是中國的之一部測算專著。”
有監生問：“《周髀算經》《九章算術》也有測量與計算的內容，能算測算專著嗎。”
李淳風回答：“《周髀算經》有測量與計算知識，還有豐富的天文學知識，有人認為它是天文學著作；《九章算術》為古代算經的代表，除了測算知識外，更多章節是現實的算術問題；《海島算經》9個算例都是測量與計算問題，而且歸納與揭示了3類測量 *** 。”李淳風總結道：“從《周髀算經》勾股定理到《九章算術》勾股章，再到《海島算經》的重差術，勾股測算體系逐步發展，臻于完善，為我們測量困難問題提供了 *** 。應該記住，在構建勾股測量體系上，三國時期的數學家劉徽居功至偉！”
根據作者著《中國測繪教育史》《中國古代測量數學的發展》編寫，版權歸作者寓公劍所有。
